Родился 16 июля 1971 года.
В 1993 году окончил СПбГУКИ.
Антон Бируля обучался игре на лютне у профессора Тойохико Сато в Королевской Консерватории в Гааге (где закончил и аспирантуру) и у профессора Конрада Юнгхэнеля в Высшей Музыкальной Школе в Кельне (Graduate and Postgraduate Study).
Благодаря своей концентрации на дошедшей до нас литературе для барочной лютни, Антон Бируля дал большое число лютневых концертов, включающих музыку И. С. Баха, С. Л. Вайса и французских лютнистов.
В кругу его интересов - транскрипции сюит для виолончели соло и сонат и партит для скрипки соло И. С. Баха для барочной лютни.
Как исполнитель на теорбе Антон Бируля выступал с ансамблями, специализируясь на вокальной музыке итальянских и английских композиторов 17 века и на музыке для виолы да гамба Марина Марэ и Антуана Форкре.
Его заинтересованность в музыке для виолы да гамба вылилась в близкое сотрудничество с российским исполнителем на виоле да гамба Виктором Соболенко.
В 2001 году они записали компакт-диск с сочинениями Марина Марэ, используя теорбу в качестве единственного инструмента для исполнения партии бассо-континуо.
Антон Бируля сотрудничал с такими известными солистами, как Владислав Клосевич (клавесин), Найджел Кеннеди (скрипка), Эмма Керкби (сопрано), Марек Топоровский (клавесин), Ольга Песечник (сопрано).
В течение своего длительного пребывания в составе Варшавской Камерной Оперы музыкант принимал участие в исполнении всех сочинений Клаудио Монтеверди, а также в операх Пьери, Каччини, Ланди, Скарлатти.